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An Introduction to Polar Coordinates

发布时间 : 2021-03-31 11:05:51 浏览: 146次 来源:G.E.M.整理 作者:G.E.M.

从某种意义上说,当我们不能用最自然或最方便的方法来定位数学中的物体时,我们所教的第一种方法是使用笛卡尔坐标。首先,您必须使用负数和正数来描述平面上的所有点,并且必须创建网格(井轴)以用作参考。

当您问孩子他们把球放在哪里时,他们会说“就在那儿”并指向。他们在描述(尽管很粗略)一个距离“正好”和一个方向“在那儿”(由一个点或一个头部的点头来支撑)。当您问某人他们的城镇在哪里时,他们经常说“伦敦以北约30英里”之类的话。同样,距离和方向。很少有人会给他们所在城市的经度和纬度!

因此,使用距离和方向作为描述位置的方法比在网格上使用两个距离要自然得多。这种定位方式用于极坐标和方位。

一个点的极坐标以距固定点的距离(原点)和从固定方向测量的角度来描述其位置,有趣的是乐鱼体育,该方向不是“北”(或在页面上方)而是“东”(在右侧),即在笛卡尔坐标轴上的方向为$ Ox $。

所以:

在飞机上,我们选择一个固定点$ O $,称为“极点”。

然后乐鱼体育,我们选择一条穿过极点的轴$ Ox $,并将其称为“极轴”。

我们现在需要一种有效且所有人都可以理解的方式来描述这些要点。

我们说$(r,\ theta)$是点$ P $的极坐标,其中$ r $是$ P $到原点$ O $的距离,而$ \ theta $ $ O x $和$ OP $。

这是平面上的一些点和五组极坐标的列表。您可以将这些点与它们的坐标相匹配吗(本文末尾的答案)。我添加了一些圆圈以帮助解决距离问题。

Image of points listed below

$$ \ begin {eqnarray}(60,0) \\(30,27 0) \\(120,22 5) \\(90,9 0) \\(60,6 0) \\(120,18 0) \ end {eqnarray} $$

到目前为止,我已经以度数$(^ \ circ)$测量了角度,但是通常的惯例是使用弧度$(^ c)$。完整有$ 2 \ pi $弧度。那就是:

$$ \ begin {eqnarray} 360 ^ \ circ = 2 \ pi ^ c \\ 180 ^ \ circ = \ pi ^ c \\ 90 ^ \ circ = \ left(\ frac {\ pi} {2} \ right)^ c \\ 1 ^ \ circ = \ left(\ frac {2 \ pi} {360} \ right)^ c \ end {eqnarray} $$

如果角度以弧度为单位,那么查看$(90,9 0) $)上方列表中的点之一将是$(90,\ frac {\ pi} {2})$。

您可以使用弧度测度在上方写出其他每对极坐标吗? (本文结尾的答案)。

实际上,有无数种方法可以使用极坐标写入任何点,因为您总是可以添加$ 2 \ pi ^ c $或$ 4 \ pi ^ c $或$ 6 \ pi ^ c $ ...到角度polar coordinates,仍然最终指向相同的方向!在上面的示例中,$ A $的一般坐标为$(90,2n \ pi + \ frac {\ pi} {2})$,其中$ n $是整数。

这也意味着极点$ O $的极坐标是$(0,\ theta)$,其中$ \ theta $可以是任意角度。

极坐标与笛卡尔坐标之间的关系

想象一个点$ P $,它的极坐标$(r乐鱼体育,\ theta)$。让我们尝试使用此信息给出$ P $的直角坐标。我们可以将垂直线从$ P $放到$ Q $处与$ Ox $相遇的$ Ox $处。 $ OQ $和$ OP $的长度代表笛卡尔坐标形式的$ x $和$ y $坐标,因此我们只需要找到这两个距离即可。

$$ \ begin {eqnarray} PQ&=&r \ sin \ theta \\ OQ&=&r \ cos \ theta \ end {eqnarray} $$

因此,$ P $的笛卡尔坐标为$(r \ sin \ theta,r \ cos \ theta)$

现在让我们以另一种方式工作:

我们从笛卡尔坐标系开始。

我们将$ P $的笛卡尔坐标作为$(x,y)$。

Diagram with x,y,r adn theta

现在,我们尝试根据$ x $和$ y $查找$ r $和$ \ theta $。

$$ r = \ sqrt {(x ^ 2 + y ^ 2)} $$

现在我们需要$ \ theta $,这样$ x = r \ cos \ theta $和$ y = r \ sin \ theta $。

很容易说$ \ tan \ theta = \ frac {y} {x} $,但是这样做有危险,由于符号的出现乐鱼体育,您可能最终得到错误的$ \ theta $值每个象限中的三角比率。

例如:

如果$ P $是点$(-2,-2) $,您将获得$ \ tan \ theta = 1 $的值,并且您将不知道$ \ theta = 45 ^ \ circ(\ frac {\ pi} {4} ^ c)$或$ 225 ^ \ circ(\ frac {3 \ pi} {2} ^ c)$ !!

通过使用$ \ sin \ theta $和$ \ cos \ theta $的符号,可以确保角度在正确的象限中。

因此,让我们通过使用该坐标系结束。尝试一些方程式并查看它们的图(极坐标图)会很好。

让我们看一些示例:

考虑图表:

$ r = \ theta $

呈螺旋形(随着角度的增加,每个点都从中心移出)。

下图显示了针对$ a $的不同值的$ r = a \ theta $的图,您能算出它们是什么吗?

Graphs of r=a theta

现在轮到您了。图形计算器或图形软件包将非常有帮助!

这一系列图是什么

$ r = 1,r = 2,r = 3,$ ...看起来像吗?

对于$ a $的不同值,$ r = 2a(1 + \ cos \ theta)$怎么样?这些图被称为心形。

答案:

$$ \ begin {eqnarray} \ mbox {D} \ rightarrow(60,0) \\ \ mbox {E} \ rightarrow(30,27 0) \\ \ mbox {C} \ rightarrow(120 ,22 5) \\ \ mbox {A} \ rightarrow(90,9 0) \\ \ mbox {F} \ rightarrow(60,6 0) \\ \ mbox {B} \ rightarrow(120,18 0) \ end {eqnarray} $$和$$ \ begin {eqnarray}(60,0) \ rightarrow(60,0) \\(30,27 0) \ rightarrow(30,\ frac {3 \ pi} {2})\\(120,22 5) \ rightarrow(120,\ frac {5 \ pi} {4})\\(90,9 0) \ rightarrow(90,\ frac {\ pi} {2})\\(60,6 0) \ rightarrow(60,\ frac {\ pi} {3})\\(120,18 0) \ rightarrow(120,\ pi)\ end { eqnarray} $$

将其压缩成一个圆角的扇形,或者......如何使用xy图来帮助可视化极地图

当您尝试想象一个函数的极坐标图看起来是什么样子时,有时首先使用值$ 0 $到$ 2 \ pi $($ 0来查看该函数的笛卡尔(xy)图可能会有所帮助$到$ 360 $度),然后想象该图形变成了扇形。

将x轴拉成一个点乐鱼体育,并在其周围散布函数值。

例如:$ y​​ = 5 \ sin 2x $看起来像笛卡尔图。

cartesian plot of the function

但是作为极坐标图$ r = 5 \ sin 2 \ theta $是:

polar plot for the function

在从$ 0 $到$ 2 \ pi $的区间内,图形$ \ sin 2x $具有$ 4 $区域

在$ 1 $区域中,该函数上升到最大值$ 5 $,然后对称地回落到零。

在$ 2 $区域中,该函数进一步跌至$ -5 $的最小值,然后又恢复为零。

注意极坐标图上区域$ 2 $的位置:当$ \ theta $将第二象限$ \ pi / 2 $扫描到$ \ pi $时,r的值均为负polar coordinates,向后投影每个图点进入第四象限。

区域$ 3 $与区域$ 1 $一样简单polar coordinates,而区域$ 4 $与区域$ 2 $类似,也具有负$ r $值,因此在第二象限中绘图。

现在尝试$ r = 5 + 5 \ sin 2 \ theta $:

首先绘制xy图,然后将其缩小以使扇形变圆。绘制极坐标图后,请使用图形计算器或图形绘图仪确认您的绘图。

发明自己的一些功能。例如,假设我使用以下形式:$ r = A + 5 \ sin 2 \ theta $,$ A $最初是$ 0 $,然后是$ 5 $。通过改变$ A $的值将如何影响极坐标图的出现?

玩得开心。

珍妮佛·皮戈特和格雷姆·布朗


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